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linear algebra lesson 7: Gauss Jordan Elimination, Gauss Elimination [ssootube]
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[행렬대수학] 가우스-조던 소거법(Gauss-Jordan Elimination) :: 간토끼 DataMining Lab

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[행렬대수학] 가우스-조던 소거법(Gauss-Jordan Elimination)

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[행렬대수학] 가우스-조던 소거법(Gauss-Jordan Elimination) :: 간토끼 DataMining Lab
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선형대수학 – 가우스-조단(Gauss-Jordan) 소거법 – DINO ROMANTIST

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가우스-조던 소거법

LU분해 – 역행렬

행렬특징 – 선형대수

공분산 행렬

INDEX

선형대수학 - 가우스-조단(Gauss-Jordan) 소거법 - DINO ROMANTIST
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DATA COOKBOOK :: 가우스 조르단 소거법(Gauss Jordan Elimination)의 이해 – 선형대수 2-3강 :: Data 쿡북

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가우스 조르단 소거법(Gauss Jordan Elimination)의 이해 – 선형대수 2-3강 Data 쿡북

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가우스 소거법 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전

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정의[편집]

성질[편집]

예[편집]

같이 보기[편집]

외부 링크[편집]

각주[편집]

참고 문헌[편집]

가우스 소거법 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전
가우스 소거법 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전

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[선형대수학] 6. 가우스 소거(Gauss elimination), 가우스-조르단 소거(Gauss-Jordan elimination)

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[선형대수학] 6. 가우스 소거(Gauss elimination), 가우스-조르단 소거(Gauss-Jordan elimination)
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1.3 Gauss소거법과 Gauss-Jordan 소거법

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1.3 Gauss소거법과 Gauss-Jordan 소거법
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[행렬대수학] 가우스-조던 소거법(Gauss-Jordan Elimination)

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Review

참고 포스팅 :

2020/06/28 – [Statistics/Matrix Algebra] – [행렬대수학] 가우스 소거법(Gaussian Elimination)

안녕하십니까, 간토끼입니다.

지난 포스팅에서는 linear system에서 방정식의 해를 구하는 방법인 가우스 소거법(Gaussian Elimination)에 대해서 다뤄봤습니다.

이번에는 보다 직관적으로(?) 해를 구할 수 있는 방법인 가우스-조던 소거법(Gauss-Jordan Elimination)에 대해 다뤄보겠습니다.

가우스 조던 소거법, 다른 말로는 조르단, 요르단 등 책의 표기법에 따라 약간씩은 다른데요.

저는 대충 표준적으로 부르는 방식인 가우스 조던 소거법이라고 하겠습니다.

우리가 가우스 소거법을 통해 얻어낸 모양은 행 사다리꼴 행렬(Row Echelon Form of Matrix)이었는데요.

가우스 조던 소거법은 행 사다리꼴 행렬을 기약 행 사다리꼴 행렬(Reduced Row Echelon Form of Matrix)로 바꿔주는 방법론이라고 이해하시면 됩니다.

그나저나 기약 행 사다리꼴이라고 하니 좀 직관적이지가 않습니다. 특히 선형대수를 공부하다보면 영어 표현이 더욱 편할 때가 있습니다.

(추후 다룰 nonsingular -> 정칙행렬 등)과 같이 생전 들어본 적도 없는 한국어 표현으로 번역한 게 많아서… 그냥 영어 표현을 섞어 쓰겠습니다.

각설하고 기약 행 사다리꼴은 행렬의 대각성분을 1로 만들어주고, 대각성분을 제외한 나머지 성분은 0으로 이루어진 행렬을 의미합니다.

구하는 과정은 가우스 소거법과 마찬가지로 기본 행 연산을 이용하면 됩니다.

같이 보시죠.

먼저 3행의 대각성분이 -1인 게 마음에 안 들어서 3행에 -1을 곱해주었습니다.

이후 기약 행 사다리꼴의 정의(이하 ‘RREF’)에 따라 대각성분(3행, 3열)을 제외한 3열의 나머지 성분을 0으로 만들어주기 위해 기본 행 연산을 이용하여 각각 빼주고 더해줍니다.

대각성분을 제외한 3열의 나머지 부분이 모두 0이 된 것을 알 수 있죠.

마찬가지로 2열의 대각성분을 제외한 나머지 부분도 0으로 만들어주기 위해 1행에 2행을 빼줍니다.

그러면 1행은 [2 0 0 | 4] 가 됩니다.

마지막으로 RREF의 정의에 따라 대각성분을 1로 만들어주기 위해 2로 나눠줍니다.

짜잔 깔끔한 형태가 되었네요!

이러한 형태의 좋은 점은 linear system의 해를 단숨에 구할 수 있다는 것입니다.

기존 가우스 소거법에서 도출한 행 사다리꼴 행렬(이하 ‘REF’)에서는 후진대입법을 이용하여 일일이 대입한 후, 방정식을 풀어야했지만, RREF는 깔끔하게 각 해에 대한 성분만 상수항에 대응되므로, 바로 해를 구할 수 있습니다.

물론 예시로 든 문제는 굉장히 풀기 편한 문제입니다. 실제로는 복잡하고 더러운 문제도 많겠죠?

다시 한번 RREF를 살펴보면, 대각성분을 1로 만들어주고, 대각성분을 제외한 나머지 성분은 0이 됨을 알 수 있습니다.

그래서 기약(Reduced)라는 수식어가 붙은 것임을 이해하시면 좋을 것 같습니다.

우리는 행렬의 행의 개수(n)와 열의 개수(m)이 같은 행렬을 정방행렬(Square Matrix)라고 합니다.만약 정방행렬의 RREF가 다음과 같다면, 이를 단위행렬(Identity Matrix)라고 부릅니다.

이때 위 행렬에서 pivot(각 행에서 처음으로 0이 아닌 상수가 나오는 성분)의 개수는 3개인데요.행렬에서 이 pivot의 개수를 우리는 rank라고 부릅니다.

즉, 위 행렬을 A라고 한다면, rank(A) = 3이라고 할 수 있죠.

지금은 가볍게 랭크가 무엇인지 살짝만 짚고 넘어갔는데, 나중에 선형공간을 다룰 때 rank는 큰 의미를 지닙니다. 추후 다뤄보도록 하죠.

다음 포스팅에서는 행렬의 몇 가지 형태와, 기본 용어에 대해서 좀 더 다뤄보도록 하겠습니다.

감사합니다.

잘 읽으셨다면 게시글 하단에 ♡(좋아요) 눌러주시면 감사하겠습니다 🙂

(구독이면 더욱 좋습니다 ^_^)

– 간토끼(DataLabbit)

– University of Seoul

– Economics, Big Data Analytics

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가우스-조단(Gauss-Jordan) 소거법

가우스-조던 소거법

행령에서 x의 해를 구하는 데 Ax = b에 대한 행 연산을 통해 해 x를 구하는 방법을 보면.

Ax = b 에서 행렬 A가 단위 행렬 I라면 해는 x = b임을 알 수 있다.

이러한 행렬을 다음과 같은 절차로 기약행 사다리꼴 형태로 변환을 하기 위해서 가우스-조던 소거법을 사용할 수 있다.

즉 가우스 조던 소거법은 기약행 사다리꼴을 만드는 체계화된 절차이다. (*기약행 사다리콜 행렬 : 모든 추축성분이 해당 열에서 0이 아닌 유일한 성분인 행 사다릴꼴 행렬을 기약행 사다리꼴 행렬 또는 축약행 사다리꼴 행렬이라 한다.)

$\begin{bmatrix}

1 \ 0 \ 0 \\

0 \ 1 \ 0 \\

0 \ 0 \ 1

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x_{1} \\

x_{2} \\

x_{3} \\

\end{bmatrix} =

\begin{bmatrix}

3 \\

-2 \\

4

\end{bmatrix}$

이 행렬방정식을 연립선형방정식 형태로 전개하면, $x_{1} = 3, x_{2} = -2, x_{3} = 4$와 같이 각 미지수 값이 결정된다.

좌변의 행렬 A를 단위행렬 I로 만들 수 있다면, 이 행렬방정식의 해를 바로 구할 수 있다.

$\begin{bmatrix}

1 \quad \ \ 2 \quad \ \ 1 \\

2 \quad \ \ 3 \quad \ \ 1 \\

3 \ -2 \ -3

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x_{1} \\

x_{2} \\

x_{3} \\

\end{bmatrix} =

\begin{bmatrix}

3 \\

4 \\

-1

\end{bmatrix}$

1행에 -2를 곱하여 2행에 더한다.

$\begin{bmatrix}

1 \quad \ \ 2 \quad \ \ 1 \\

0 \ -1 \ -1 \\

3 \ -2 \ -3

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x_{1} \\

x_{2} \\

x_{3} \\

\end{bmatrix} =

\begin{bmatrix}

3 \\

-2 \\

-1

\end{bmatrix}$

1행에 -3을 곱하여 3행에 더한다.

$\begin{bmatrix}

1 \quad \ \ 2 \quad \ \ 1 \\

0 \ -1 \ -1 \\

0 \ -8 \ -6

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x_{1} \\

x_{2} \\

x_{3} \\

\end{bmatrix} =

\begin{bmatrix}

3 \\

-2 \\

-10

\end{bmatrix}$

2행에 -1을 곱한다.

$\begin{bmatrix}

1 \quad \ \ 2\quad \ \ 1 \\

0 \quad \ \ 1 \quad \ \ 1 \\

0 \ -8 \ -6

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x_{1} \\

x_{2} \\

x_{3} \\

\end{bmatrix} =

\begin{bmatrix}

3 \\

2 \\

-10

\end{bmatrix}$

2향애 8을 곱하여 3행에 더한다.

$\begin{bmatrix}

1 \quad \ \ 2 \quad \ \ 1 \\

0 \quad \ \ 1 \quad \ \ 1 \\

0 \quad \ \ 0 \quad \ \ 2

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x_{1} \\

x_{2} \\

x_{3} \\

\end{bmatrix} =

\begin{bmatrix}

3 \\

2 \\

6

\end{bmatrix}$

2행에 -2를 곱하여 1행에 더한다.

$\begin{bmatrix}

1 \quad \ \ 0 \ \ -1 \\

0 \quad \ \ 1 \quad \ \ 1 \\

0 \quad \ \ 0 \quad \ \ 2

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x_{1} \\

x_{2} \\

x_{3} \\

\end{bmatrix} =

\begin{bmatrix}

-1 \\

2 \\

6

\end{bmatrix}$

3행에 $\dfrac{1}{2}$를 곱한다.

$\begin{bmatrix}

1 \quad \ \ 0 \ \ -1 \\

0 \quad \ \ 1 \quad \ \ 1 \\

0 \quad \ \ 0 \quad \ \ 1

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x_{1} \\

x_{2} \\

x_{3} \\

\end{bmatrix} =

\begin{bmatrix}

-1 \\

2 \\

3

\end{bmatrix}$

3행을 1행에 더한다

$\begin{bmatrix}

1 \quad \ \ 0 \quad \ \ 0 \\

0 \quad \ \ 1 \quad \ \ 1 \\

0 \quad \ \ 0 \quad \ \ 1

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x_{1} \\

x_{2} \\

x_{3} \\

\end{bmatrix} =

\begin{bmatrix}

2 \\

2 \\

3

\end{bmatrix}$

3행에 -1을 곱하여 2행에 더한다.

$\begin{bmatrix}

1 \quad \ \ 0 \quad \ \ 0 \\

0 \quad \ \ 1 \quad \ \ 0 \\

0 \quad \ \ 0 \quad \ \ 1

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x_{1} \\

x_{2} \\

x_{3} \\

\end{bmatrix} =

\begin{bmatrix}

2 \\

-1 \\

3

\end{bmatrix}$

따라서 해는 $x_{1} = 2, x_{2} = -1, x_{3} = 3$

가우스 – 조단 소거법으로 해를 구하는 과정

불능인 연립선형방정식에 대한 가우스-조던 소거법

[1단계] 연립선형방정식을 첨가행렬로 변환한다. [2단계] 첫 번째 행부터 마지막 행까지 [3단계] 부터 [5단계]의 과정을 반복해서 수행한다. 이때 현재 고려하는 행 번호를 i라고 하자 [3단계] i열부터 마지막 열까지, 위쪽 행의 추축성분이 아래쪽 행의 추축성분과 같은 위치에 있거나 왼쪽에 있도록 행을 교환한다. [4단계] i행을 추축성분이 j열에 있다면, i행을 (i,j) 성분의 값으로 나누어 추축성분의 값이 1이 되도록 만든다. [5 단계] 이 추축성분을 제외한 j열의 모든 성분이 0이 되도록 i행을 상수배를 다른 행들에 더한다.[6단계] 계수행렬 부분에 모든 성분이 0인 행이 있고, 이행에 대응하는 ‘|’ 이후의 값이 0 이 아니면, ‘해가 없다(불능이다)’ 라고 판정한다. [7단계] 0이 아닌 성분이 포함된 행의 개수가 미지수의 개수보다 적다면, ‘무수히 많은 해가 존재한다(부정이다)’라고 판정한다. [8단계] [6단계] 와 [7단계]에 해당하지 않는 경우라면, 기약행 사다리꼴 행렬에서 해를 읽는다.

$\begin{bmatrix}

1 & -3 & -6 & | & 2 \\

3 & -8 & -17 & | & -1 \\

1 & -4 & -7 & | & 10

\end{bmatrix}$

($R_{2} \leftarrow -3R_{1} + R_{2}$)

$\begin{bmatrix}

1 & -3 & -6 & | & 2 \\

0 & 1 & 1 & | & -7 \\

1 & -4 & -7 & | & 10

\end{bmatrix}$

($R_{3} \leftarrow -R_{1} + R_{3}$)

$\begin{bmatrix}

1 & -3 & -6 & | & 2 \\

0 & 1 & 1 & | & -7 \\

1 & -1 & -1 & | & 8

\end{bmatrix}$

($R_{3} \leftarrow R_{2} + R_{3}$)

$\begin{bmatrix}

1 & -3 & -6 & | & 2 \\

0 & 1 & 1 & | & -7 \\

0 & 0 & 0 & | & 1

\end{bmatrix}$

마지막 행렬의 3행은 $0x_{1} + 0x_{2} + 0x_{3} = 1$ 로 해는 존재하지 않는다. 즉 이 연립 방정식은 불능이다.

부정인 연립선형방정식의 풀이법

$\begin{bmatrix}

0 & 4 & 1 & | & 2 \\

2 & 6 & -2 & | & 3 \\

4 & 8 & -5 & | & 4

\end{bmatrix}$

($R_{1} \leftrightarrow R_{2} $)

$\begin{bmatrix}

2 & 6 & -2 & | & 3 \\

0 & 4 & 1 & | & 2 \\

4 & 8 & -5 & | & 4

\end{bmatrix}$

($R_{1} \leftarrow \dfrac{1}{2}R_{1} $)

$\begin{bmatrix}

1 & 3 & -1 & | & \dfrac{3}{2} \\

0 & 4 & 1 & | & 2 \\

4 & 8 & -5 & | & 4

\end{bmatrix}$

($R_{3} \leftarrow -4R_{1} + R_{3} $)

$\begin{bmatrix}

1 & 3 & -1 & | & \dfrac{3}{2} \\

0 & 4 & 1 & | & 2 \\

0 & -4 & -1 & | & -2

\end{bmatrix}$

($R_{2} \leftarrow \dfrac{1}{4}R_{2} $)

$\begin{bmatrix}

1 & 3 & -1 & | & \dfrac{3}{2} \\

0 & 1 & \dfrac{1}{4} & | & \dfrac{1}{2} \\

0 & -4 & -1 & | & -2

\end{bmatrix}$

($R_{1} \leftarrow -3R_{2}+R_{1} $)

($R_{3} \leftarrow 4R_{2}+R_{3} $)

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & -\dfrac{7}{4} & | & 0 \\

0 & 1 & \dfrac{1}{4} & | & \dfrac{1}{2} \\

0 & 0 & 0 & | & 0

\end{bmatrix}$

3행의 성분은 모두 0이기 때문에, 미지수 $x_{3}$의 값은 하나로 고정되지 않는다. x_{3}에 어떤 값 t를 대입해도 연깁선형방정식의 해가 존재한다.

$x_{1} – \dfrac{7}{4}x_{3} = 0 \rightarrow x_{1} = \dfrac{7}{4}x_{3}$

$x_{2} – \dfrac{1}{4}x_{3} = \dfrac{1}{2} \rightarrow x_{2} = -\dfrac{1}{4}x_{3} + \dfrac{1}{2}$

$x_{3} = t$를 대입하면

$x_{1} – \dfrac{7}{4}t, x_{2} = -\dfrac{1}{4}t + {1}{2}, x_{3} =t$ 이 때 어떤 값이 든 될 수 있는 t와 같은 변수를 자유변수(fre variable)라고 한다.

$t = 4 \Rightarrow (x_{1},x_{2},x_{3}) = (7, -\dfrac{1}{2}, 4)$

$t = -2 \Rightarrow (x_{1},x_{2},x_{3}) = (\dfrac{7}{2}, 1, -2)$

t에 어떤 값을 대입해도 해가 존재하기 때문에 이 연립선형방정식의 해는 무수히 많다. 이러한 연립선형방정식을 부정이라고 한다.

python code

import numpy as np a = np.zeros((2,3)) # 2*3 영행렬 b = np.ones((2,2)) # 모든 성분이 1인 2*2 행렬 c = np.full((3,2),3) # 모든 성분이 3인 3*2 행렬 d = np.eye(2) # 2*2 단위 행렬

가우스 조던 소거법

import numpy as np #행렬 A를 출력하는 함수 def pprint(msg, A): print(“—“, msg, “—“) (n,m) A.shape for i in range(0,n): line = “” for j in range(0,m): line += “{0:.2f}”.format(A[i,j])+”\t” if j == n-1: line += “| ” print(line) print(“”) #가우스-조단 조거법을 수행하는 함수 def gauss(A): (n,m) = A.shape for i in range(0, n): # i번째 열에서 절댓값이 최대인 성분의 행 선택 maxEl = abs(A[i,i]) maxRow = i for k in range(i+1, n): if abs(A[k,i]) > maxEl: maxEl = abs(A[k,i]) maxRow = k #현재 i번째 행과 최댓값을 갖는 행 maxRow 의 교환 for k in range(i,m): tmp = A[maxRow,k] A[maxRow,k] = A[i,k] A[i,k] = tmp #추축 성분을 1로 만들기 piv = A[i,i] for k in range(i,m): A[i,k] = A[i,k]/piv #현재 i번째 열의 i번째 행을 제외한 모두 성분을 0으로 만들기 for k range(0,n): if k != i: c = A[k,i]/A[i,i] for j in range(i,m): if i == j: A[k,j] = 0 else: A[k,j] = A[k,j] – c * A[i,i] pprint(str(i+1)+”번째 반복”,A) x = np.zeros(n) for i in range(0,n): x[i] = A[i,n] return x A = np.array([[2.,2.,4.,18.],[1.,3.,2.,13.],[3.,1.,3.,14.]]) pprint(“주어진 문제”,A) x = gauss(A) (n,m) = A.shape line = “해:\t” for i in range(0,n): line += “{0:.2f}”.format(x[i]) + “\t” print(line)

DATA COOKBOOK :: 가우스 조르단 소거법(Gauss Jordan Elimination)의 이해

| 들어가며

지난 블로깅에는 가우스 소거법에 대해 배웠다.

지난 블로깅의 링크는 아래를 참고한다.

▶ 가우스 소거법(Gaussian elimination)의 이해 – 선형대수 2-2강

이번 블로깅에서는 가우스 조르단 소거법(Gauss Jordan Elimination)에 대해 이해해보자

| 가우스 조르단 소거법이란

일차 연립방정식 AX = B를 쉽게 풀 수 있는 가우스-조르단 소거법은 다음의 순서를 따른다.

1) 행렬 A와 B로 부터 확대행렬 C=(A|B) 를 구한다.

2) 기본행연산을 이용하여 C를 소거행제형 D로 변환한다. 3) 자유변수 각각을 임의의 매개변수로 둔다. 4) 행렬 D의 영행이 아닌 각 행을 선도변수에 관하여 푼다.

이를 이용해서 다음의 연립방정식을 풀어보자

| 가우스 소거법(Gauss Elimination)과 가우스-조르단 소거법(Gauss Jordan Elimination)의 비교

– 가우스 소거법은 행제형행렬을 구한 다음에 후진 대입법을 사용하여 값을 구한다.

– 가우스 조르단 소거법은 소거행제형 행렬을 구해서 바로 해를 구한다.

| 참고자료

방송통신대학교 강의교재

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